1.椭圆切线公式推导
- 圆切线公式：x0*x+y0*y=r^2，其中(x0,y0)是切点。
圆切线方程
解：方法1.向量法
∵切线与过切点的圆半径垂直∴半径向量*切线向量=0 （向量内积=0）
半径向量=(x0,y0)，切线向量=(x-x0, y-y0)，代入上式得
x0(x-x0)+y0(y-y0)=0，又有 x0^2+y0^2=r^2，
代入得 x0*x+y0*y=r^2 证毕。
方法2.斜率法
∵切线与过切点的圆半径垂直∴半径斜率*切线斜率=-1
半径斜率=y0/x0，切线斜率=(y-y0)/(x-x0)，代入上式得
(y0/x0) * (y-y0)/(x-x0)= -1，化简得 x0*x+y0*y=r^2 证毕。
- 椭圆切线公式：(x0*x)/a^2+(y0*y)/b^2=1，其中(x0,y0)是切点。
椭圆切线方程
解：椭圆方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1，
求导得 2x/a^2+2y*y'/b^2=0 即 y'= -(b^2/a^2)*(x/y)
在切点(x0,y0)的斜率为 y'(x0)= -(b^2/a^2)*(x0/y0)
切线方程 (y-y0)/(x-x0)=-(b^2/a^2)*(x0/y0)，
化简得 (x0*x)/a^2+(y0*y)/b^2=1 证毕。
2.双曲线切线公式推导
- 双曲线切线公式：(x0*x)/a^2 - (y0*y)/b^2=1，其中(x0,y0)是切点。
双曲线切线方程
解：参考椭圆切线公式的推导可得。两者仅相差一个负号。
3.抛物线切线公式推导
- 抛物线切线公式：y0*y=p(x+x0)，其中(x0,y0)是切点。
抛物线切线方程
解：抛物线方程 y^2=2px, 求导得 2yy'=2p，即 y'=p/y。
于是(x0,y0)处的斜率为 y'(x0)=p/y0。切线方程 y-y0=(p/y0)*(x-x0)，
整理得 y0*y=p(x-x0)+y0^2，又 y0^2=2px0 代入得
y0*y=p(x+x0) 证毕。
4.公式记忆方法
在椭圆与双曲线的切线方程中，是把原方程中的变量二次项全部换成常数项（切点坐标）乘以变量就变成切线方程。如把x^2换成x0*x ，把y^2换成y0*y ，抛物线的切线方程除了把原方程中的变量二次项换成常数项（切点坐标）乘以变量还要再把两倍的变量换成（变量+常数）就变成切线方程，如把2x换成 (x+x0)。
